Հավանականությունների տեսության: Հավանականությունը միջոցառման, պատահական իրադարձություն (հավանականությունը տեսությունը): Անկախ եւ անհամատեղելի զարգացումները Հավանականությունների տեսության

Քիչ հավանական է, որ շատ մարդիկ կարծում են, որ դա հնարավոր է հաշվել միջոցառումներ, որը ինչ-որ չափով պատահական. Տեղադրել այն պարզ բառերով, դա իրատեսական է իմանալ, թե որ կողմն է խորանարդի է զառախաղ կնվազի հաջորդ անգամ: Այն էր, այս հարցը պետք է հարցնել երկու մեծ գիտնականներին, հիմք դրեց այս գիտության, տեսությունը հավանականությամբ, հավանականությունը միջոցառման, որի ուսումնասիրվող լայնորեն բավարար է:

սերունդ

Եթե դուք փորձեք սահմանել այնպիսի հայեցակարգ, ինչպես նաեւ տեսության հավանականությամբ, մենք ստանում ենք հետեւյալը. Սա մեկն է այն ճյուղերի մաթեմատիկայի, որ ուսումնասիրում է հաստատունությունն պատահական իրադարձությունների. Ակնհայտ է, որ այս հայեցակարգը, իրոք, չի բացահայտում էությունը, այնպես որ դուք պետք է հաշվի առնել այն ավելի մանրամասն.

Ես կցանկանայի, որ սկսել հիմնադիրներից տեսության: Ինչպես նշվեց վերեւում, կային երկու, որ Պեր ferma եւ blez Պասկալ: Նրանք առաջինն էին փորձել, օգտագործելով բանաձեւեր եւ մաթեմատիկական հաշվարկներ է հաշվարկել արդյունքը միջոցառման. Ընդհանուր առմամբ, մնացուկներ այս գիտության նույնիսկ միջնադարում: Մինչ տարբեր մտածողներն ու գիտնականները փորձել են վերլուծել կազինո խաղեր, ինչպիսիք են ռուլետկա, craps, եւ այլն, դրանով է ստեղծել օրինակը, իսկ տոկոսային կորուստը մի շարք. Հիմնադրամը նաեւ դրել է տասնյոթերորդ դարում այն էր, որ վերը նշված գիտնականները:

Ի սկզբանե, նրանց աշխատանքը չի կարող վերագրվել է մեծ նվաճումների Այս ոլորտում, ի վերջո, այն, ինչ արեցին, որ նրանք եղել են պարզապես էմպիրիկ փաստերը եւ փորձեր էին հստակ, առանց օգտագործելով բանաձեւերը: Ժամանակի ընթացքում, պարզվեց է հասնել մեծ արդյունքների, որոնք հայտնվել հետեւանքով դիտարկման տրված ոսկորների. Այն այս գործիքը օգնել է բերել առաջին հստակ բանաձեւը.

աջակիցներ

Էլ չենք խոսում այնպիսի մի մարդ, ինչպիսին Քրիստիան Հյուգենսից, այդ գործընթացում ուսումնասիրման առարկան, որը կրում է անունը «հավանականությունների տեսության» (հավանականությունը միջոցառման կարեւորում, որ այս գիտության): Այս անձը շատ հետաքրքիր է: Նա, ինչպես նաեւ գիտնականներ Վերը ներկայացված են փորձել ձեւով մաթեմատիկական բանաձեւերի եզրակացնել մի օրինակը պատահական իրադարձությունների. Ուշագրավ է, որ ինքը չի կիսում այն Պասկալ եւ Fermat, որ այն ամենը, նրա աշխատանքը չի համընկնում այդ մտքերից: Հյուգենս ստացված հիմնական հասկացությունները հավանականության տեսության.

Հետաքրքիր փաստ է, որ իր աշխատանքը եկան դեռ մինչեւ աշխատանքների արդյունքների պիոներների, լինել ճշգրիտ, քսան տարի առաջ: Կան միայն թվում հասկացությունների բացահայտված էին:

• որպես հայեցակարգի հավանականություն արժեքային պատահական.
• սպասումը դիսկրետ դեպքում,
• թեորեմներ գումարման եւ բազմապատկման հավանականությունների:

Նաեւ, ոչ ոք չի կարող մոռանալ, Yakoba Bernulli, որը նույնպես մասնակցել է ուսումնասիրության խնդրի. Միջոցով իրենց սեփական, եւ ոչ որոնցից անկախ թեստեր, նա կարողանում էր ապահովել ապացույց օրենքի խոշոր համարներով. Իր հերթին, գիտնականները Poisson եւ Լապլասը, ով աշխատել է վաղ տասնիններորդ դարում, կարողացան ապացուցել, բնօրինակ թեորեմը: Է, որ պահն է վերլուծել սխալները դիտարկումների մենք սկսեցինք օգտագործել հավանականությունների տեսությունը. Կողմ շուրջ այս գիտության չէր կարող եւ ռուս գիտնականները, այլ ոչ թե Մարկովը, Chebyshev եւ Dyapunov: Դրանք հիմնված են կատարված աշխատանքի մեծ հանճարների, ապահովված առարկան որպես մասնաճյուղի մաթեմատիկայի. Մենք աշխատել այդ գործիչներին վերջում է տասնիններորդ դարում, եւ շնորհիվ նրանց ներդրած ավանդի, արդեն ապացուցել երեւույթներ, ինչպիսիք են:

• Օրենքը մեծ թվով.
• Տեսությունը Մարկովի շղթաների,
• Կենտրոնական սահմանը թեորեմ:

Այնպես որ, պատմությունը ծննդյան գիտության եւ հետ խոշոր անձերի, որոնք նպաստել են դրան, ամեն ինչ շատ թե քիչ պարզ. Հիմա ժամանակն է մարմին դուրս բոլոր փաստերը:

հիմնական հասկացությունները

Նախքան դուք դիպչել օրենքները եւ թեորեմներ, պետք է սովորեն հիմնական հասկացությունները հավանականության տեսության. Միջոցառումը գրավում է գերիշխող դեր: Այս թեման բավականին ծավալուն, բայց չի կարողանա հասկանալ, թե բոլոր մնացածը, առանց դրա:

Իրադարձություն է հավանականությունների տեսության, այն Ցանկացած շարք արդյունքներից փորձի: Հասկացությունները այս երեւույթի կա բավարար չէ: Այսպիսով, Լոտմանը գիտնական աշխատում է այս ոլորտում, է հայտնել, որ այս դեպքում մենք խոսում, թե ինչ է »եղավ, թեեւ դա չի կարող տեղի ունենալ»:

Պատահական միջոցառումներ (Հավանականությունների տեսության հատուկ ուշադրություն է դարձնում նրանց) - մի հասկացություն, որը ներառում է, բացարձակապես որեւէ երեւույթը ունեցող հնարավորությունը ունենում. Կամ, ընդհակառակը, այս սցենարը չի կարող տեղի ունենալ կատարման մի շարք պայմանների: Հարկ է նաեւ իմանալով, որ զբաղեցնում է ամբողջ ծավալը երեւույթների տեղի ունեցող պարզապես պատահական իրադարձությունները: Հավանականությունների տեսության ենթադրում է, որ բոլոր պայմանները կարող է կրկնվել անընդհատ. Դա նրանց վարքը արդեն անվանել «փորձը» կամ «փորձարկում»:

Նշանակալի իրադարձություն, - սա մի երեւույթ է, որ հարյուր տոկոսով այս քննության է պատահել: Ըստ այդմ, անհնար միջոցառումը - սա մի բան է, որ չի լինում:

Համատեղելով զույգ Action (պայմանականորեն դեպքի եւ գործը B) մի երեւույթ է, որը տեղի է ունենում միաժամանակ. Նրանք, որոնք կոչվում են AB.

Գումարը զույգ իրադարձությունների A եւ B - C է, այլ կերպ ասած, եթե գոնե մեկը նրանցից չի (A, կամ B), դուք ստանում եք մի Գ բանաձեւը նկարագրված երեւույթը գրված է որպես C = A + B.

Անհամատեղելի զարգացումները Հավանականությունների տեսության ենթադրում է, որ երկու դեպքերը կարող են իրարամերժ: Միեւնույն ժամանակ, նրանք ցանկացած դեպքում չի կարող տեղի ունենալ. Համատեղ իրադարձությունները հավանականությունների տեսության, դա իրենց հակապատկերն. Ենթադրվում է, որ եթե Ա պատահել, դա չի բացառում C.

Հակադարձելով այն միջոցառումը (Հավանականությունների տեսության համարում է մեծ մանրամասն), շատ հեշտ է հասկանալ. Լավագույնն այն է, զբաղվել նրանց հետ համեմատության մեջ: Նրանք գրեթե նույնն են, քանի անհամատեղելի զարգացումները Հավանականությունների տեսության. Սակայն, նրանց տարբերությունն այն է, որ մեկը մի բազմակարծության երեւույթների ցանկացած դեպքում պետք է տեղի ունենա:

Հավասարապես հավանական միջոցառումներ այդ գործողությունները, կրկնության հավանականության հավասար են: Որպեսզի պարզ է, դուք կարող եք պատկերացնել tossing մետաղադրամ: կորուստ մեկի իր կողմերից հավասարապես հավանական կորուստ այլ.

դա ավելի հեշտ է հաշվի առնել օրինակը favoring միջոցառումը: Ենթադրենք կա մի դրվագ է դրվագ Ա առաջին մի roll է մահանում են գալուստը կենտ թվով, իսկ երկրորդ `առերեւույթ թվի հինգ վրա զառախաղ. Ապա ստացվում է, որ Ա-ն կողմ Վ

Անկախ իրադարձությունները եւ հավանականության տեսության, որոնք նախագծվել են միայն երկու կամ ավելի անգամ, եւ ներգրավել անկախ որեւէ գործողության մյուս. Օրինակ, A - ին կորստի պոչերը մետաղադրամը tossing, եւ B - dostavanie jack-ից տախտակամած: Նրանք ունեն անկախ իրադարձությունները հավանականության տեսության. Այս պահից պարզ դարձավ,.

Կախյալ իրադարձությունները հավանականությունների տեսության է նաեւ թույլատրելի է միայն իրենց կոդավորմամբ. Նրանք ենթադրում կախվածությունը մեկի վրա, մյուս կողմից, այսինքն, երեւույթը կարող է առաջանալ միայն այն դեպքում, երբ Ա արդեն տեղի է ունեցել, կամ, ընդհակառակը, տեղի չունեցավ, երբ այն է, հիմնական պայմանը B.

Արդյունքը պատահական գիտափորձի բաղկացած է մեկ բաղադրիչ, դա տարրական միջոցառումներ: Հավանականությունների տեսության ասում է, որ դա մի երեւույթ է, որը կատարվում է միայն մեկ անգամ:

հիմնական բանաձեւը

Այսպիսով, վերը նշված էին համարվում հայեցակարգը "միջոցառման», «Հավանականությունների տեսության», սահմանումները հիմնական առումով այս գիտության հանձնվել նաեւ. Հիմա ժամանակն է կծանոթանա կարեւոր բանաձեւերի. Այս արտահայտությունները մաթեմատիկորեն հաստատեց բոլոր հիմնական հասկացությունները այնպիսի բարդ առարկա, որպես Հավանականությունների տեսության. Հավանականությունը միջոցառման եւ խաղում մեծ դեր.

Ավելի լավ է սկսել հիմնական բանաձեւերը, Կոմբինատորիկա. Եւ մինչ դուք սկսեք նրանց, դա արժե հաշվի առնելով, թե ինչ է դա:

Կոմբինատորիկա - հիմնականում մասնաճյուղը մաթեմատիկայի, նա սովորում է մի մեծ շարք թվերի, եւ տարբեր permutations երկու թվերի եւ դրանց տարրերի, տարբեր տվյալներով, եւ այլն, հանգեցնելով մի շարք կոմբինացիաներ ... Ի լրումն Հավանականությունների տեսության, այդ ոլորտում կարեւոր է, վիճակագրական, համակարգչային գիտության եւ ծածկագիտություն.

Այնպես որ, հիմա դուք կարող եք տեղափոխել դեպի ներկայացմամբ իրենց եւ իրենց սահմանումը բանաձեւերի.

Դրանցից առաջինը արտահայտությունն է մի շարք permutations, դա հետեւյալն է.

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = N!

Հավասարում կիրառվում է միայն այն դեպքում, եթե տարրերը տարբերվում է միայն հրամանով պայմանավորվածության:

Այժմ տեղաբաշխման բանաձեւը, կարծես սա կհամարվի:

À_ñ ^ մ = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - մ + 1) = N! (N - մ):

Այս արտահայտությունը կիրառելի է ոչ միայն միակ տարր պատվերում, այլեւ իր կազմի.

Որ երրորդ հավասարումը Կոմբինատորիկա, եւ այն, որ վերջինս, որը կոչվում է բանաձեւ թվի կոմբինացիաներ:

C_n ^ մ = n! : ((N - մ))! : M!

Համակցությունը կոչվում նմուշառում, որոնք չեն հրամայել, համապատասխանաբար, եւ կիրառվում այս կանոնը:

Հետ բանաձեւերը Կոմբինատորիկա եկան հասկանալ, հեշտությամբ, դուք կարող եք այժմ գնալ դասական սահմանման հավանականությունը. Այն կարծես այս արտահայտության հետեւյալն են:

P (A) = M: N:

Այս բանաձեւով, մ է շարք պայմաններ նպաստող միջոցառման A, եւ n - թիվն հավասարապես եւ ամբողջությամբ բոլոր տարրական միջոցառումներին:

Կան բազմաթիվ արտահայտությունները հոդվածում չի համարվել այլ բան տուժած կլինի առավել կարեւորները, ինչպիսիք են, օրինակ, հավանականությունը իրադարձությունների կազմում:

P (A + B) = P (A) + P (B) - սա թեորեմ է, ավելացնելով, միայն իրարամերժ միջոցառումներ.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB), բայց սա միայն ավելացնելով, համատեղելի.

Հավանականությունը միջոցառման աշխատանքների:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - սա թեորեմ անկախ իրադարձություններից.

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) եւ սա է կախված:

Ավարտվեց ցանկ իրադարձությունների բանաձեւով. Հավանականությունների տեսության պատմում մեզ թեորեմը Bayes, որը կարծես սա:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)), (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), մ = 1, ..., n

Այս բանաձեւով, H _1, Հ _2, ..., H _n - մի ամբողջական շարք հիպոթեզների:

Այս կանգառում, նմուշները բանաձեւերը դիմումը այժմ համարվում է հատուկ առաջադրանքների գործնականում:

օրինակները

Եթե դուք ուշադիր ուսումնասիրել ցանկացած մասնաճյուղ մաթեմատիկայի, դա ոչ առանց վարժությունների եւ ընտրանքային լուծումներ: Եւ Հավանականությունների տեսության `իրադարձությունների, օրինակ այստեղ անբաժան բաղադրիչն հաստատող գիտական հաշվարկներ:

Բանաձեւով թվի permutations

Օրինակ, մի քարտի տախտակամած ունեն երեսուն քարտեր, սկսած անվանական մեկը. Հաջորդ հարցը. Քանի եղանակով է հոտ տախտակամած, որպեսզի քարտ անվանական արժեքով մեկ ու երկու չէին գտնվում կողքին.

Խնդիրը սահմանել, այժմ եկեք շարժվել դեպի զբաղվել դրա հետ: Առաջին, դուք պետք է պարզել, թե մի շարք permutations երեսուն տարրերի, այս նպատակի համար մենք վերցնում ենք վերոնշյալ բանաձեւը, ապա ստացվում է P_30 = 30.

Ելնելով այս կանոն, մենք գիտենք, թե որքան շատ տարբերակներ կան պառկեցի տախտակամած է շատ ձեւերով, բայց մենք պետք է հանվի նրանցից են, որոնց առաջին եւ երկրորդ քարտը կլինի հաջորդ. Որպեսզի դա անել, սկսում է մի տարբերակով, երբ առաջին անգամ գտնվում է երկրորդ. Ստացվում է, որ առաջին քարտեզը կարող է տեւել քսան-ինը տեղերը - ից առաջին դեպի քսան իններորդ, իսկ երկրորդը քարտ երկրորդը, երեսուներորդ, ստացվում քսան ինը տեղերը զույգ քարտերով: Իր հերթին, մյուսները կարող են վերցնել քսանութ նստատեղ, եւ ցանկացած կարգի. Այսինքն, վերադասավորում քսան ութ քարտերի քսան ութ ընտրանքներ P_28 = 28:

Արդյունքն այն է, որ եթե հաշվի առնենք, որ որոշումը, երբ առաջին անգամ քարտը գտնվում է երկրորդ լրացուցիչ հնարավորություն է ստանալ 29 ⋅ 28: = 29:

Օգտագործելով նույն մեթոդը, դուք պետք է հաշվարկել շարք կրճատված տարբերակների համար այն դեպքում, երբ առաջին քարտը գտնվում տակ վայրկյանից: Նաեւ ձեռք է բերել 29 ⋅ 28: = 29:

Այս այն հետեւում է, որ լրացուցիչ ընտրանքներ 2 ⋅ 29!, Իսկ անհրաժեշտ միջոցների հավաքման տախտակամած 30: - 2 ⋅ 29. Մնում է միայն հաշվարկել:

30: = 29: ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29: = 29: ⋅ (30 - 2) = 29: ⋅ 28

Այժմ մենք պետք է բազմապատկել միասին բոլոր թվերի մեկից քսան-ինը, եւ ապա վերջում բոլորս բազմապատկած 28 Պատասխանը ձեռք բերել 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Օրինակներ լուծումներ: Բանաձեւով թվի բնակեցման

Այս խնդրին, դուք պետք է պարզել, թե որքան կան եղանակներ դնում տասնհինգ ծավալները մի Գրքերի, բայց պայմանով, որ ընդամենը երեսուն ծավալները:

Այս խնդիրը, որ որոշումը մի քիչ ավելի հեշտ է, քան նախորդը: Օգտագործելով արդեն հայտնի բանաձեւը, դա անհրաժեշտ է հաշվարկել ընդհանուր թիվը երեսուն վայրերում տասնհինգ ծավալներն:

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Պատասխանը, համապատասխանաբար, կլինի հավասար է 202 843 204 931 727 360 000:

Հիմա վերցնենք առաջադրանքը մի քիչ ավելի բարդ է: Ձեզ անհրաժեշտ է իմանալ, թե քանիսն են եղանակներ է կազմակերպել երեսուներկու գրքեր վրա shelves, հետ պայմանով, որ միայն տասնհինգ ծավալները կարող են բնակվել է նույն Գրքերի.

Նախքան սկզբին որոշման ցանկանում է պարզաբանել, որ որոշ խնդիրներ կարող է լուծվել մի քանի եղանակներով, եւ այս կան երկու եղանակներ, բայց երկուսն էլ մեկ եւ նույն բանաձեւը, որը կիրառվում:

Այս խնդիրը, դուք կարող եք վերցնել պատասխանը նախորդ մեկ, քանի որ այնտեղ մենք հաշվարկել թիվը անգամ դուք կարող եք լրացնել այն Գրքերի տասնհինգ գրքերի տարբեր ձեւերով. Պարզվեց A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16:

Երկրորդը գունդը հաշվարկված հետեւյալ բանաձեւով վերադասավորումների, քանի որ այն տեղադրված տասնհինգ գրքեր, իսկ մնացած տասնհինգ. Մենք օգտագործում ենք բանաձեւից P_15 = 15.

Ստացվում է, որ այդ գումարը կլինի A_30 ^ 15 ⋅ P_15 եղանակներ, սակայն, ի լրումն, որ արտադրանքը բոլոր թվերի երեսուն մինչեւ տասնվեց կլինի բազմապատկած արտադրանքի թվերի մեկից տասնհինգ, ի վերջո պարզվում է ապրանքը բոլոր թվերի մեկից երեսուն, այն է, որ պատասխանը է 30:

Սակայն այդ խնդիրը կարող է լուծվել մի այլ կերպ ավելի հեշտ է. Որպեսզի դա անել, դուք կարող եք պատկերացնել, որ կա մեկը, Գրքերի համար երեսուն գրքեր. Բոլորն են տեղադրվում է այս հարթությունում, այլ այն պատճառով, որ վիճակը պահանջում է, որ եղել են երկու shelves, մեկ երկար ենք սղոցում է կեսին, երկու հերթափոխով տասնհինգ. Այս այն ստացվում է, որ այս պայմանավորվածության կարող է լինել P_30 = 30.

Օրինակներ լուծումներ: Բանաձեւով թվի կոմբինացիաներ

Ով է համարվում մի տարբերակ երրորդ խնդրի Կոմբինատորիկա. Դուք պետք է իմանալ, թե քանի եղանակներ կան կազմակերպել տասնհինգ գրքեր, պայմանով, որ դուք պետք է ընտրել երեսուն հենց նույն.

Որոշման համար, իհարկե, կիրառել բանաձեւը թվի կոմբինացիաներ. Պայմանով, որ պարզ է դառնում, որ կարգը նույն տասնհինգ գրքերի այնքան էլ կարեւոր չէ. Այնպես որ, ի սկզբանե, դուք պետք է պարզել, թե ընդհանուր թիվը համադրությունը երեսուն տասնհինգ գրքերի.

C_30 ^ 15-= 30: : ((30-15))! 15: = 155117520

Որ այդ ամենը: Օգտագործելով այս բանաձեւը, որ ամենակարճ ժամանակում հնարավոր է նման խնդիր լուծել, այն պատասխանը, համապատասխանաբար, հավասար է 155,117,520:

Օրինակներ լուծումներ: Որ դասական սահմանումը հավանականության

Օգտագործելով բանաձեւով տրված վերեւում, կարելի է գտնել հարցի պատասխանը մի պարզ խնդիր. Բայց դա կլինի հստակ տեսնել եւ հետեւել ընթացքը գործողության.

Խնդիրն հաշվի առնելով, որ է urn կան տասը լիովին նույնական գնդակներ. Դրանցից, չորս դեղին եւ վեց կապույտ. Վերցված է urn մեկ գնդակ: Անհրաժեշտ է իմանալ, թե հավանականությունը dostavaniya կապույտ.

Է լուծել խնդիրը, որ անհրաժեշտ է նշանակել, dostavanie կապույտ գնդակը միջոցառման A. Այս փորձը կարող է ունենալ տասը արդյունքները, որն, իր հերթին, տարրական եւ հավասարապես հավանական է: Միեւնույն ժամանակ, վեց-ին տասնյակում են բարենպաստ միջոցառումը Ա. Լուծել հետեւյալ բանաձեւով.

P (A) = 6: 10 = 0.6

Օգտագործելով այս բանաձեւը, մենք հասկացանք, որ կապույտ գնդակը ստանալու ունակությունը 0.6 է:

Օրինակ լուծումը: Իրադարձությունների գումարի հավանականությունը

Այժմ կներկայացվի տարբերակ, որը լուծվում է միջոցառումների գումարի հավանական բանաձեւով: Այսպիսով, պայմանով, որ կա երկու տուփ, առաջինում կա մեկ գորշ եւ հինգ սպիտակ գնդակներ, իսկ երկրորդում `ութ գորշ եւ չորս սպիտակ գնդակներ: Արդյունքում, նրանցից մեկը վերցվեց առաջին եւ երկրորդ արկղերից: Անհրաժեշտ է պարզել, թե ինչն է հնարավորությունը, որ ստացված գնդակներ գորշ ու սպիտակ կլինեն:

Այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է նշանակել միջոցառումներ:

• Այսպիսով, A- ն գրավեց գորշ գնդակը առաջին գզրոցից `P (A) = 1/6:
• A '- մի սպիտակ գնդակը նաեւ առաջին գզրոցից `P (A') = 5/6:
• B - արդյունահանվող գորշ գնդակը երկրորդ տուփից `P (B) = 2/3:
• B '- երկրորդ տուփից մի գորշ գնդի վերցրեց `P (B') = 1/3:

Խնդիրի պայմանով, անհրաժեշտ է, որ իրադարձություններից մեկը լինի. AB կամ A'B: Օգտագործելով բանաձեւը, մենք ստանում ենք `P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18:

Այժմ կիրառվում է հավանականությունը բազմապատկելու բանաձեւը: Հաջորդը, պատասխանը պարզելու համար անհրաժեշտ է կիրառել դրանց ավելացման հավասարումը.

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18:

Այսպիսով, օգտագործելով բանաձեւը, կարող եք լուծել նմանատիպ խնդիրներ:

Արդյունքը

Հոդվածում ներկայացվել են «Հավանականության տեսություն» թեմայի վերաբերյալ տեղեկատվությունը, այն իրադարձության հավանականությունը, որի մեջ կարեւոր դեր է խաղում: Իհարկե, ոչ բոլորը հաշվի են առնվել, բայց ներկայացված տեքստի հիման վրա տեսականորեն կարելի է ծանոթանալ մաթեմատիկայի այս բաժինին: Այս գիտությունը կարող է օգտակար լինել ոչ միայն մասնագիտական պրակտիկայում, այլ նաեւ առօրյա կյանքում: Իր օգնությամբ դուք կարող եք հաշվարկել ցանկացած իրադարձություն:

Տեքստը նաեւ անդրադարձավ հավանականության տեսության առաջացման պատմության մեջ որպես գիտության նշանակալի ժամկետների եւ այն մարդկանց անունները, որոնց աշխատանքները ներդրվել են դրան: Այդպես մարդկային հետաքրքրասիրությունը հանգեցրել է նրան, որ մարդիկ սովորել են նույնիսկ պատահական դեպքերը հաշվել: Երբ նրանք պարզապես շահագրգռված էին դրանով, բայց այսօր բոլորը գիտեն այդ մասին: Եվ ոչ ոք չի կասի, թե ինչ է սպասում մեզ ապագայում, ինչ այլ խելամիտ հայտնագործություններ կկատարվեն քննարկվող տեսության հետ: Բայց մի բան հաստատ է, տեղում տեղում ուսումնասիրությունը արժանի չէ: