Իռացիոնալ թվերը, թե ինչ է դա եւ ինչ են դրանք օգտագործվում.

Ինչ է իռացիոնալ թիվ? Ինչու են նրանք կոչվում. Որտեղ նրանք են օգտագործվել եւ ինչ է նշանակում? Քչերն են կարող առանց վարանելու պատասխանել այդ հարցերին: Բայց, փաստորեն, պատասխանները բավականին պարզ է, թեեւ ոչ բոլորն են անհրաժեշտ, եւ շատ հազվադեպ իրավիճակներում,

Էությունը եւ նշման

Իռացիոնալ թվեր են անվերջ ոչ պարբերական տասնորդականներ. Որ պետք է ներկայացնել այս հայեցակարգը բխում է այն փաստից, որ որպեսզի անդրադառնալ նոր առաջացող մարտահրավերներին եղել է անբավարար նախկինում գոյություն ունեցող հասկացությունները իրական կամ իրական, ամբողջ, բնական եւ ռացիոնալ թվերի: Օրինակ, որպեսզի հաշվարկել քառակուսի արժեք է 2, դա անհրաժեշտ է օգտագործել ոչ պարբերական անսահման տասնորդական կոտորակի: Բացի այդ, շատ պարզ հավասարումների չունեն նաեւ լուծում առանց ներդրման հայեցակարգի իռացիոնալ թվերի:

Այս փաթեթը, որը բնորոշվել որպես I. Եվ, քանի որ պարզ է դարձել, որ այդ արժեքները չեն կարող ներկայացված պարզ կոտորակով, որի համարիչը է ամբողջ, եւ հայտարարը - մի բնական համարը:

Համար առաջին անգամ այս կամ այն կերպ, այս երեւույթի առջեւ ծառացած հնդկական մաթեմատիկոսների է VII դարում մ.թ.ա., երբ պարզվել է, որ քառակուսի արմատները որոշակի քանակությամբ չեն կարող հստակորեն: Առաջին ապացույց գոյության նման թվերի հաշվեգրվում Pythagorean Hippasus, ով արված այն ուսումնասիրության հավասարասրուն աջ եռանկյունու. A լուրջ ներդրում ուսումնասիրության այս set են բերել նույնիսկ որոշ գիտնականներ, ովքեր ապրում մինչեւ Քրիստոսի. Ներդրումը հայեցակարգի իռացիոնալ թվերի հանգեցրել է վերանայմանը առկա մաթեմատիկական համակարգի, որն է պատճառը, որ նրանք այդքան կարեւոր է:

Ծագման անունով

Եթե հարաբերակցությունը Լատիներեն - է «կրակոց», «վերաբերմունքը» նախածանցը "ir»
կցվում է բառի հակառակի: Այսպիսով, անունը շարք, այդ թվերի ցույց է տալիս, որ նրանք չեն կարող փոխկապակցված է ամբողջ թիվ կամ կոտորակային, մի տեղ: Սա բխում է իրենց բնույթով.

Տեղադրել է ընդհանուր դասակարգմամբ

Իռացիոնալ թվերը, հետ միասին ռացիոնալ վերաբերում է մի խումբ իրական կամ վիրտուալ, որն իր հերթին պատկանում է համալիրը. Ենթաբազմություններ ոչ, սակայն, տարբերակել հանրահաշվական եւ տրանսցենդենտալ տեսակի, որը կքննարկվի ստորեւ.

հատկությունները

Քանի որ իռացիոնալ թվերի մեջ, դա մաս է կազմում մի շարք իրական, ապա կիրառվում է նրանց իրենց բոլոր հատկությունները, որոնք ուսումնասիրվում են թվաբանությամբ (նաեւ կոչվում հիմնական հանրահաշվական օրենքները):

a + b = բ + ա (commutativity);

(A + b) + c = a + (բ + գ) (Ասոցիատիվություն);

ա + 0 = a.

ա + (-a) = 0 (առկայությունը հավելում հակադարձը)

AB = BA (փոխարինող օրենք).

(AB) c = a (մ.թ.ա.) (տարածելու);

ա (բ + գ) = AB + AC (բաշխիչ օրենք).

կացինը 1 = a

կացինը 1 / ա = 1 (որ հակառակ թիվը գոյության).

Համեմատություն է կատարվել նաեւ համապատասխան ընդհանուր օրենքներին ու սկզբունքներին:

Եթե> b եւ b> գ, ապա> գ (transitivity հարաբերակցությունը) եւ. ք. դ.

Իհարկե, բոլոր իռացիոնալ համարները կարող է ձեւափոխվել օգտագործելով հիմնական թվաբանական գործողություններ: Ցանկացած հատուկ կանոններ է սա.

Բացի այդ, իռացիոնալ թվերը ծածկված է ԱՐՔԻՄԵԴԻ աքսիոմի: Այն նշում է, որ ցանկացած երկու արժեքներին a- ն եւ b- ճիշտ է, որ, հաշվի է ժամկետ, որպես բավարար թվով անգամ, դա հնարավոր է հաղթել բ.

օգտագործումը

Չնայած այն հանգամանքին, որ իրական կյանքում հաճախ չեն պետք է զբաղվել նրանց հետ, իռացիոնալ թվերը չեն տալիս հաշիվ: Նրանք մի շատ մեծ, բայց նրանք գործնականում անտեսանելի. Մենք շրջապատված իռացիոնալ թվերի: Օրինակներ, ծանոթ է բոլորին, - թիվ ՔԿՀ հավասար է 3.1415926 ... կամ էլեկտրոնային, հիմնականում բազան բնական լոգարիթմների, 2.718281828 ... հանրահաշիվ, եռանկյունաչափություն եւ երկրաչափության պետք է օգտագործել դրանք մշտապես. Ի դեպ, հայտնի արժեքը «ոսկե բաժնում», այսինքն, հարաբերակցությունը, թե որքան բարձր է ցածր եւ հակառակը, եւ Այն վերաբերում է այս փաթեթի. Ավելի քիչ հայտնի «արծաթե», - էլ.

Թվերի գծի վրա, որ նրանք շատ մոտ է, այնպես որ միջեւ ցանկացած երկու քանակությամբ ընդգրկված են մի շարք ռացիոնալ, իռացիոնալ պարտադիր է առաջանալ.

Մինչեւ հիմա, որ կան շատ չլուծված խնդիրների հետ կապված այս փաթեթի. Կան չափանիշներ, ինչպիսիք են անտրամաբանություն Միջոցառման եւ բնականոն թվի: Մաթեմատիկոսները շարունակում են ուսումնասիրել առավել նշանակալի օրինակներ իրենց պատկանող մեկ խմբի կամ այլ. Օրինակ, ենթադրվում է, որ էլեկտրոնային նորմալ համարը, այսինքն, հավանականությունը առաջացման իր ձայնագրության տարբեր գործիչների նույնն են ... Ինչ վերաբերում է ՔԿՀ-ում, ապա դրա համեմատաբար երկար ընթանում է հետաքննություն: Միջոցառում անտրամաբանություն նաեւ կոչ է արել արժեքը, ցույց է տալիս, թե ինչպես է, մասնավորապես, համարը կարող է approximated կողմից ռացիոնալ թվերի:

Հանրահաշվական եւ տրանսցենդենտալ

Ինչպես արդեն նշվեց, իռացիոնալ թվերը պայմանականորեն բաժանել հանրահաշվական եւ տրանսցենդենտալ: Պայմանականորեն, քանի որ, խստորեն ասած, դասակարգումը օգտագործվում է բաժանել բազմակարծությունը C.

Սույն նշանակման hides բարդ համարները, որոնք ներառում են փաստացի կամ իրական:

Այնպես որ, հանրահաշվական կոչվում է արժեք, որը հանդիսանում է արմատը polynomial չէ նույնությամբ զրոյական: Օրինակ, քառակուսի արմատ 2 չի Ընկնել այս կատեգորիայում, քանի որ դա լուծում է հավասարման x ² - 2 = 0:

Բոլոր այլ իրական թվերը, որոնք չեն բավարարում այս պայմանը կոչվում են տրանսցենդենտալ. Այս տեսակ են եւ առավել հայտնի եւ արդեն նշված օրինակները - թիվն Pi- ի եւ բնական լոգարիթմ բազան ե.

Հետաքրքիր է, ոչ մեկը, ոչ էլ երկրորդը էին սկզբանե աճեցվում է մաթեմատիկոսների, որպես այդպիսին, իրենց անտրամաբանություն ու transcendence արդեն ապացուցված է, երկար տարիներ հետո իրենց բացահայտման. Համար pi ապացույց էր տրամադրվել է 1882 եւ պարզեցվել է 1894 թ., Որը վերջ է բանավեճի մասին խնդրի squaring շրջանակը, որը տեւեց 2500 տարի. Դա դեռ լիարժեք չի հասկացել այնպես, որ ժամանակակից մաթեմատիկոսներ աշխատանք ունենք անելու: Ի դեպ, առաջին ողջամտորեն ճշգրիտ հաշվարկման արժեքի ունեցել Archimedes: Նրա առաջ, բոլոր հաշվարկները շատ էին մոտավոր է:

Էլեկտրոնային (Էյլերի համարը, կամ Napier), ապացույց նրա տրանսցենդենտալիզմի հայտնաբերվել է 1873: Այն օգտագործվում է լուծել են logarithmic- հավասարումների.

Ի թիվս այլ Օրինակները առանց արժեքները, արկկոսինուսը եւ շոշափող ցանկացած զրոյական Հանրահաշվական արժեքներին: