Երկրաչափական պրոգրեսիայով եւ նրա հատկությունները

Երկրաչափական պրոգրեսիայով կարեւոր է մաթեմատիկայի որպես գիտության, եւ կիրառական նշանակությունը, քանի որ այն ունի չափազանց լայն շրջանակը, նույնիսկ բարձրագույն մաթեմատիկայի, օրինակ, տեսության շարքը. Առաջին տեղեկությունները առաջընթացի էր մեզ Հին Եգիպտոսում, մասնավորապես ձեւով հայտնի խնդրի պապիրուսի Rhind յոթ անձինք յոթ կատուների: Տատանումները այս խնդիրը կրկնվում էին բազմաթիվ անգամ տարբեր ժամանակներում այլ ժողովուրդների: Նույնիսկ Velikiy Լեոնարդո Pizansky, որը հայտնի է որպես Fibonacci (XIII դ.), Զրուցել է նրան իր «Գիրք Abacus"

Այնպես, որ երկրաչափական պրոգրեսիայով ունի հին պատմություն: Այն իրենից ներկայացնում է թվային հաջորդականությունը հետ զրոյական առաջին անդամ, եւ յուրաքանչյուր հաջորդ, սկսած երկրորդ որոշվում բազմապատկելով նախորդ կրկնություն բանաձեւը հաստատուն, զրոյական շարք է, որը կոչվում է հայտարարը առաջընթացի (այն սովորաբար նշանակված օգտագործելով նամակ Q):
Ակնհայտ է, որ դա կարելի է բաժանելու յուրաքանչյուր հետագա ժամկետը հաջորդականությամբ նախորդ, այսինքն z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... Հետեւաբար, մեծամասնության համար աշխատանքի առաջընթացի (Zn) բավարար է, որ գիտի արժեքը առաջին կիսամյակի հայտարար եւ y 1 ք.

Օրինակ, թող z 1 = 7, q = - 4 (ժէ <0), ապա հետեւելով երկրաչափական պրոգրեսիայով, որը ձեռք է բերել 7 - 28, 112 - 448, .... Ինչպես դուք կարող եք տեսնել, որ արդյունքում հաջորդականությունը չէ միօրինակություն.

Հիշեցնենք, որ կամայական հերթականությունը միօրինակ (ավելացման / նվազում), երբ մեկը իր անդամներից հետեւել ավելի / պակաս, քան նախորդը: Օրինակ, հաջորդականությունը 2, 5, 9, ..., եւ -10, -100, -1000, ... - միապաղաղություն, երկրորդը `նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայով:

Այն դեպքում, երբ q = 1, բոլոր անդամները հայտնաբերվել են լինել, եւ դա կոչվում է հաստատուն առաջընթացի:

Հաջորդականությամբ էր առաջընթացի այս տեսակի, այն պետք է բավարարի հետեւյալ անհրաժեշտ եւ բավարար պայման, մասնավորապես `սկսած երկրորդ, յուրաքանչյուրը իր անդամների, պետք է լինի երկրաչափական միջին հարեւան անդամների:

Այս հատկանիշը թույլ է տալիս որոշակի երկու կից փաստահավաք կամայական ժամկետային առաջընթացի համար:

n-րդ տերմինը exponentially հեշտությամբ հայտնաբերվել է բանաձեւով: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z իմանալով նախ անդամ 1 եւ հայտարարը q.

Քանի որ թիվն հաջորդականությունը ունի գումար, ապա մի քանի պարզ հաշվարկները տալ մեզ բանաձեւը հաշվարկել գումարը առաջին առաջընթացի անդամների, մասնավորապես,

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - ժէ).

Փոխարինելու բանաձեւում իր արտահայտությունն արժեքը Zn z 1 * q ^ (n-1) ստանալու երկրորդ գումարի բանաձեւը առաջընթացի: S n = - Z1 * (ժէ ^ n - 1) / (1 - Q):

Արժանի է ուշադրության հետեւյալը հետաքրքիր փաստ: կավ դեղահատ հայտնաբերվել է պեղումների Հին Բաբելոնի, որը վերաբերում է VI. BC, պարունակում ուշագրավ ձեւով հանրագումարը 1 + 2 + ... + 22 + 29 հավասար է 2 տասներորդ իշխանության մինուս 1. բացատրություն այս երեւույթի դեռ չի հայտնաբերվել:

Մենք նշում ենք, մեկը հատկությունների երկրաչափական պրոգրեսիայով - մշտական աշխատանքի իր անդամների, spaced ժամը հավասար հեռավորությունների ծայրերում հաջորդականությամբ:

Առանձնակի նշանակություն է գիտական տեսանկյունից, նման բան, որպես անսահման երկրաչափական պրոգրեսիայով եւ հաշվարկման իր գումարը: Ենթադրելով, որ (yn) - մի երկրաչափական պրոգրեսիայով ունեցող հայտարարից Q, բավարարելու պայմանը | q | <1, նրա գումարը պետք է նշված սահմանաչափից, որի ուղղությամբ մենք արդեն գիտենք, թե այդ գումարը իր առաջին անդամներից է, անսահման ավելացման n, ապա պետք է դրա մոտենում անվերջությունը:

Գտնել այս գումարը որպես հետեւանք, օգտագործելով հետեւյալ բանաձեւով `

S n = y 1 / (1- ժէ):

Եվ, քանի որ փորձը ցույց է տվել, քանի որ ակնհայտ պարզությամբ այս առաջընթացի նա թաքնված է մի հսկայական դիմումի ներուժ: Օրինակ, եթե մենք կառուցել մի հաջորդականություն հրապարակներում, ըստ հետեւյալ ալգորիթմի, միացնելով միջնակետերը նախորդ, նրանք ձեւավորել քառակուսի անսահման երկրաչափական պրոգրեսիա ունեցող հայտարար 1/2: Նույնն է առաջընթացի ձեւը եւ տարածքը եռանկյունների, ձեռք բերել յուրաքանչյուր փուլում շինարարության, եւ դրա գումարը հավասար է տարածքում բնօրինակը հրապարակում.