Ուռուցիկ polygons. Սահմանում է ուռուցիկ Պոլիգոն. The անկյունագծերը ուռուցիկ Պոլիգոն

Այս երկրաչափական ձեւավորում բոլորս մեր շուրջը. Ուռուցիկ polygons բնական են, ինչպես, օրինակ, մի բջիջ կամ արհեստական (մարդու պատրաստված): Այդ գործիչները օգտագործվում են արտադրում են տարբեր տեսակի ծածկույթներ արվեստի, ճարտարապետության, զարդ, եւ այլն: Ուռուցիկ պոլիգոնները այն գույքը, որ իրենց միավորները ստում մի կողմում, ուղիղ գծով, որը անցնում է զույգ հարակից գագաթներում է երկրաչափական գործիչ. Կան նաեւ այլ սահմանումներ: Այն կոչվում է ուռուցիկ Պոլիգոն, որը կազմակերպվում է մեկ կես ինքնաթիռով նկատմամբ ցանկացած ուղիղ գծի պարունակում է կողմերից մեկը:

ուռուցիկ polygons

Ի ընթացքում տարրական երկրաչափություն են միշտ վերաբերվում չափազանց պարզ polygons. Որպեսզի հասկանանք, թե հատկությունների երկրաչափական ձեւավորում , դուք պետք է հասկանալ, թե իրենց բնույթով. To սկսում են հասկանալ, որ փակ է որեւէ գիծ, որի ծայրերը նույնն են: Եւ այդ ցուցանիշը ձեւավորվում է այն, կարող է ունենալ մի շարք configurations. Պոլիգոն կոչվում պարզ փակ polyline որի հարեւանությամբ միավորները չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի. Դրա հղումներ եւ հանգույցների, համապատասխանաբար, կողմերը եւ գլխավորում են երկրաչափական գործիչ. Մի պարզ polyline պետք չեն հատվում իրեն:

vertices են Պոլիգոն կոչվում են հարեւաններին, եթե դրանք են ավարտվում մեկի իր կողմերից: A երկրաչափական գործիչ, որն ունի n-րդ շարք vertices, եւ հետեւաբար n-րդ շարք կուսակցություններ կոչ է արել n-gon. Ինքնին ընդհատվող գիծը սահմանն կամ Եզրագծային երկրաչափական գործիչ. Բազմանկյուն օդանավը կամ բնակարանը Պոլիգոն կոչվում է եզրափակիչ մասը ցանկացած հարթությունում, իրենց սահմանափակ է. Հարակից կողմերն երկրաչափական գործիչ կոչվում POLYLINE հատվածներին ծագող է նույն vertex. Նրանք չեն կարող լինել հարեւաններին, եթե դրանք հիմնված են տարբեր գագաթներում Պոլիգոն.

Այլ սահմանումները ուռուցիկ polygons

Տարրական երկրաչափության, կան մի քանի համարժեք իմաստ սահմանումների, նշելով, թե ինչ կոչվում է ուռուցիկ Պոլիգոն. Ընդ որում, բոլոր այդ հայտարարությունները հավասարապես ճշմարիտ. A ուռուցիկ Պոլիգոն է, որ ունի

• յուրաքանչյուր հատվածն է, որը կապում ցանկացած երկու միավոր ներսում, գտնվում է ամբողջովին դրան.

• դրանում ստում է իր բոլոր diagonals.

• ցանկացած ինտերիերի անկյունը ոչ ավելի, քան 180 °:

Պոլիգոն միշտ բաժանում է ինքնաթիռը երկու մասի: Նրանցից մեկը, - իսկ սահմանափակվում (այն կարող է կցվում է շրջանագծի), իսկ մյուսը `անսահմանափակ: Առաջինը կոչվում է ներքին տարածաշրջանը, իսկ երկրորդը արտաքին մակերեսը երկրաչափական գործիչ. Սա խաչմերուկում Պոլիգոն (այլ կերպ ասած, ընդհանուր բաղադրիչը) մի քանի կես-ինքնաթիռներ. Այսպիսով, յուրաքանչյուր հատվածն ունեցող ավարտվում է կետերից, որոնց պատկանում է Պոլիգոն ամբողջությամբ պատկանում է իրեն:

Սորտերի ուռուցիկ polygons

Սահմանում ուռուցիկ Պոլիգոն չի վկայում են, որ կան բազմաթիվ տեսակի նրանց: Եւ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի չափանիշներ: Այսպիսով, ուռուցիկ բազմանկյուններ, որոնք ունեն ներքին տեսանկյունից 180 °, անդրադարձել է մի փոքր ուռուցիկ. Ուռուցիկ երկրաչափական գործիչ է, որը ունի երեք գագաթները, կոչվում է եռանկյունի, չորս քառակողմ, հինգ Պենտագոնի, եւ այլն: Յուրաքանչյուր ուռուցիկ n-gons համապատասխանում է հետեւյալ կարեւոր պահանջներին .. Ն պետք է հավասար է կամ գերազանցում է 3. Յուրաքանչյուր եռանկյունիների ուռուցիկ. Երկրաչափական գործիչ այս տեսակի, որը բոլոր գագաթները գտնվում են մի շրջանակի, որը կոչվում է գրված շրջանակը: Նկարագրված ուռուցիկ Պոլիգոն կոչվում, եթե բոլոր կողմերն շուրջ շրջանակի դիպչել նրան: Երկու polygons կոչվում են հավասար է միայն այն դեպքում, երբ, օգտագործելով կափարիչ կարող է համատեղել: Հարթ Պոլիգոն կոչվում բազմանկյուն ինքնաթիռ (ա ինքնաթիռ մասը), որ այս սահմանափակ երկրաչափական գործիչ.

Կանոնավոր ուռուցիկ polygons

Կանոնավոր polygons կոչվում երկրաչափական ձեւավորում հետ հավասար անկյունները եւ կողմերի համար: Ներսում նրանց մեջ կա մի կետ, 0, որը նույնն է հեռավորությունը յուրաքանչյուր իր vertices: Այն կոչվում է կենտրոնն է երկրաչափական գործիչ. Գծեր կապող կենտրոն հետ գագաթներին երկրաչափական գործիչ կոչվում apothem, եւ նրանք, որ կապել շեղվող 0 կողմերի `շառավիղները:

Correct ուղղանկյունի քառակուսի. Հավասարակողմ եռանկյունի կոչվում հավասարակողմ: Համար նման ձեւավորում կա հետեւյալ կանոնը. Յուրաքանչյուր ուռուցիկ Պոլիգոն անկյունը 180 ° * (n-2) / n,

որտեղ n - թիվն գագաթներում ուռուցիկ երկրաչափական գործիչ.

Որ տարածքը ցանկացած հերթական Պոլիգոն որոշվում է հետեւյալ բանաձեւով.

S = P * H,

որտեղ p- ն հավասար է կես գումարը բոլոր կողմերում Պոլիգոն, եւ ը նա երկարությունը apothem:

Հատկություններ ուռուցիկ polygons

Ուռուցիկ polygons ունեն որոշակի հատկություններ. Այսպիսով, հատվածն է, որ կապում է ցանկացած երկու կետերը մի երկրաչափական գործիչ, անպայման գտնվում է դրան: ապացույց:

Ենթադրենք, որ P - ուռուցիկ Պոլիգոն. Վերցրեք երկու կամայական միավոր, օրինակ, Ա եւ Բ, որը պատկանում է Պ.-ի ներկայիս սահմանման ուռուցիկ պոլիգոն, այդ կետերը գտնվում են մի կողմում ուղիղ գծի, որը պարունակում է մի ուղղություն Ռ. Հետեւաբար, AB նաեւ ունի այդ գույքը, եւ պարունակվում է Ռ. Ա ուռուցիկ Պոլիգոն միշտ կարելի է բաժանել մի քանի եռանկյունիների բացարձակապես բոլոր diagonals, որը անցկացվեց մեկը իր vertices:

Անկյուններ ուռուցիկ երկրաչափական ձեւավորում

Անկյունները մի ուռուցիկ պոլիգոն - են անկյունները, որոնք ձեւավորվում են կողմերի կողմից: Ներսում անկյունները են ներսում տարածքում երկրաչափական գործիչ. Տեսանկյունից է, որ ձեւավորվում է իր կողմերից որը զուգամիտել է vertex, որը կոչվում տեսանկյունից ուռուցիկ Պոլիգոն. Անկյուններ հարակից ներքին անկյուններում, երկրաչափական գործիչ, որը կոչվում է արտաքին. Յուրաքանչյուր անկյուն ուռուցիկ Պոլիգոն, կազմակերպված ներսում, է:

180 ° - x

որտեղ x - արժեքը դուրս անկյունում. Այս պարզ բանաձեւը կիրառելի է ցանկացած տեսակի երկրաչափական ձեւավորում նման.

Ընդհանուր առմամբ, արտաքին անկյուններում, որ գոյություն ունի հետեւյալ կանոնը: յուրաքանչյուր ուռուցիկ Պոլիգոն տեսանկյունից հավասար տարբերության 180 ° եւ արժեքի ներքին տեսանկյունից: Այն կարող է ունենալ արժեքները `սկսած -180 ° է 180 °: Հետեւաբար, երբ ներքին անկյունը 120 °, հայտնվելը արժեք կունենա 60 °:

Գումարը անկյուններից ուռուցիկ polygons

Գումարը ներքին անկյունների ուռուցիկ պոլիգոն սահմանվում է հետեւյալ բանաձեւով.

180 ° * (n-2),

որտեղ n - թիվն գագաթներում է n-gon:

Գումարը անկյունների ուռուցիկ պոլիգոն հաշվարկվում է բավական է պարզապես: Քննարկում է ցանկացած նման երկրաչափական ձեւը: Է որոշելու անկյունների գումարը մի ուռուցիկ պոլիգոն պետք է կապել մեկը իր գագաթների այլ vertices: Որպես հետեւանք, այս ակցիային ստացվում (n-2) վախճանը. Հայտնի է, որ գումարը անկյուններից ցանկացած եռանկյան միշտ 180 °: Քանի որ նրանց թիվը ցանկացած Պոլիգոն հավասար (n-2), որ գումարը ներքին անկյուններից գործիչ հավասար է 180 ° x (n-2):

Կկազմի ուռուցիկ Պոլիգոն անկյունները, մասնավորապես ցանկացած երկու հարակից ներքին եւ արտաքին անկյունները նրանց հետ, այս ուռուցիկ երկրաչափական գործիչ միշտ հավասար է 180 °: Այս հիման վրա, մենք կարող ենք սահմանել գումարը իր բոլոր անկյուններում:

180 x n.

Գումարը ներքին անկյունները 180 ° * (n-2): Ըստ այդմ, այդ գումարը բոլոր արտաքին անկյուններում գործիչ կողմից սահմանված բանաձեւով:

180 ° * N-180 ° - (n-2) = 360 °:

Գումարը արտաքին անկյունները ցանկացած ուռուցիկ պոլիգոն միշտ կլինի հավասար է 360 ° (անկախ թվի իր կողմերից):

Դուրս անկյուն ուռուցիկ Պոլիգոն են, ընդհանուր առմամբ, ներկայացված է տարբերության 180 ° եւ արժեքի ներքին տեսանկյունից:

Այլ հատկությունները ուռուցիկ Պոլիգոն

Բացի հիմնական հատկությունների երկրաչափական գործիչների տվյալների, նրանք ունեն նաեւ այլ, որն առաջանում է, երբ բեռնաթափման նրանց. Այսպիսով, որեւէ բազմանկյունների կարող է տրոհվել բազմակի ուռուցիկ n-gons: Որպեսզի դա անել, շարունակում են նրա յուրաքանչյուր կողմերից եւ կտրել երկրաչափական ձեւը այդ ուղիղ գծերի. Ցանկացած պառակտում Պոլիգոն մեջ մի քանի ուռուցիկ մասերի հնարավոր է, եւ այնպես, որ վերին յուրաքանչյուր կտոր համընկնում են իր բոլոր vertices: - Ից երկրաչափական գործիչ կարող է լինել շատ պարզ է, որպեսզի վախճանը միջոցով բոլոր diagonals մեկ vertex. Այսպիսով, ցանկացած Պոլիգոն, ի վերջո, կարող է բաժանել մի որոշակի թվով վախճանը, որը շատ օգտակար է լուծել տարբեր խնդիրների նման երկրաչափական ձեւավորում.

Պարագիծը ուռուցիկ Պոլիգոն

Հատվածներն իրենց polyline, Պոլիգոն կոչված կուսակցությունները, հաճախ նշվում է հետեւյալ տառերով: AB, BC, CD, de, EA. Այս կողմը մի երկրաչափական գործիչ գագաթների A, B, C, D, E: Գումարը երկարությունների կողմերի ուռուցիկ պոլիգոն կոչվում է պարագծային.

Շրջապատ է Պոլիգոն

Ուռուցիկ polygons կարող է ընդունվել եւ նկարագրված. Circle շոշափող բոլոր կողմերում երկրաչափական գործիչ, որը կոչվում է մակագրված մեջ այն. Այս Պոլիգոն կոչվում նկարագրված. Կենտրոնը, շրջանակը, որը գրված է Պոլիգոն է մի կետ խաչմերուկում bisectors անկյուններից ընթացքում տվյալ երկրաչափական վիճակում: The մակերեսը Պոլիգոն հավասար է:

S = P * r,

որտեղ r - շառավղով inscribed շրջանակի որպես P - կես-պարագծային է Պոլիգոն.

A շրջանակը պարունակող Պոլիգոն vertices, որը կոչվում է նկարագրված մոտ է: Բացի այդ, այս ուռուցիկ երկրաչափական գործիչ, որը կոչվում է մակագրված: Շրջանակը կենտրոն, որը նկարագրված է նման մի Պոլիգոն է, այսպես կոչված, հատման կետում midperpendiculars բոլոր կողմերին:

Անկյունագծային ուռուցիկ երկրաչափական ձեւավորում

The անկյունագծերը ուռուցիկ պոլիգոն մի հատվածի, որը կապում է ոչ հարեւան vertices: Նրանցից յուրաքանչյուրը ներսում այս երկրաչափական գործիչ. Թիվն diagonals վերաբերյալ n-gon սահմանված է ըստ բանաձեւով:

N = n (n 3) / 2:

Թիվն diagonals մի ուռուցիկ պոլիգոն կարեւոր դեր է խաղում տարրական երկրաչափություն. Թիվն եռանկյունիների (K), որը կարող է կոտրել ամեն ուռուցիկ Պոլիգոն, հաշվարկվում է հետեւյալ բանաձեւով.

K = n - 2:

Թիվն diagonals մի ուռուցիկ պոլիգոն միշտ կախված է մի շարք vertices:

Միջնորմ է ուռուցիկ Պոլիգոն

Որոշ դեպքերում, պետք է լուծել երկրաչափական խնդիրները, որոնք անհրաժեշտ են կոտրել ուռուցիկ Պոլիգոն մեջ մի քանի եռանկյունիների ոչ-հատվող diagonals. Այս խնդիրը կարող է լուծվել հեռացնելով որոշակի բանաձեւ.

Սահմանելով խնդիրը: զանգահարեք ճիշտ տեսակի բաժանման է ուռուցիկ n-gon մեջ մի քանի եռանկյունիների են diagonals հատման միայն գագաթներին երկրաչափական գործիչ.

Լուծում: Ենթադրենք, որ P1 եւ P2, P3, ..., PN - վերին n-gon: Միավորների քան-Xn - թիվն իր partitions. Զգուշորեն համարում առաջացող անկյունագծով երկրաչափական գործիչ Pi PN. Որեւէ կանոնավոր partitions P1 PN պատկանում է որոշակի եռանկյունու P1 Pi PN, որի 1

Թող ես = 2 մի խումբ կանոնավոր partitions, միշտ պարունակող անկյունագիծ P2 PN. Թիվն միջնապատերը, որ ընդգրկված են այն, հավասար է թվով partitions (n-1) -gon P2 P3 P4 ... PN. Այլ կերպ ասած, դա հավասար է xn-1:

Եթե ես = 3, ապա մյուս խմբի partitions միշտ պարունակում է մի անկյունագծային P3 P1 եւ P3 PN. Թիվն ճիշտ partitions, որոնք պարունակվում են խմբին, համընկնում է մի շարք partitions (n-2) -gon P3, P4 ... PN. Այլ կերպ ասած, դա կլինի Xn-2.

Թող ես = 4, ապա վախճանը շրջանում ճիշտ բաժանման պարտավորվում է պարունակել մի եռանկյունին P1 PN P4, որը կարող է կցել քառանկյունի P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... PN. Թիվն ճիշտ partitions ինչպիսիք քառակողմ հավասար X4, եւ մի շարք partitions (n-3) -gon հավասար xn - 3: Ելնելով վերոգրյալից, մենք կարող ենք ասել, որ ընդհանուր թիվը կանոնավոր միջնապատերը, որ պարունակվում են այս խմբում հավասար Xn-3 X4. Այլ խմբեր, որի i = 4, 5, 6, 7 ... կպարունակի 4 xn - X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 կանոնավոր partitions.

Թող i = n-2 թիվը ճիշտ partitions տվյալ խմբում համընկնում թվի partitions խմբում, որի i = 2 (այլ կերպ ասած, հավասար xn-1):

Քանի որ X1 = X2 = 0, X3 = 1 եւ X4 = 2, ..., որ մի շարք մասնատվածությունը ուռուցիկ Պոլիգոն է:

Xn = Xn-Xn-1 + 2 + 3 xn-xn - X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-3 X 4 + 2 + Xn-Xn-1.

օրինակ.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = x8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Թիվն ճիշտ partitions փոխհատվող շրջանակներում մեկը diagonal

Երբ ստուգում անհատական դեպքերը, կարելի է ենթադրել, որ այդ թիվը անկյունագծերը ուռուցիկ n-gon հավասար է արտադրանքի բոլոր partitions սույն աղյուսակը օրինակին (n-3):

Դրա ապացույցն այս ենթադրությունը: ենթադրել, որ P1N = Xn * (n-3), ապա ցանկացած n-gon կարող է բաժանել (n-2) հանդիսանում է եռանկյունի: Այս դեպքում նրանցից մեկը կարող է stacked (n-3) -chetyrehugolnik: Միեւնույն ժամանակ, յուրաքանչյուր քառանկյունի է շեղակի. Քանի որ այս ուռուցիկ երկրաչափական գործիչ երկու diagonals կարող է իրականացվել, ինչը նշանակում է, որ ցանկացած (n-3) -chetyrehugolnikah կարող իրականացնել լրացուցիչ անկյունագծային (n-3): Այս հիման վրա, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ ցանկացած պատշաճ բաժանման հնարավորություն ունի (n-3) -diagonali հանդիպման պահանջների այս խնդիրը.

Area ուռուցիկ polygons

Հաճախ, լուծելու տարբեր խնդիրներ տարրական երկրաչափություն կա անհրաժեշտություն որոշելու տարածքը ուռուցիկ պոլիգոն: Ենթադրել, որ (xi. Yi), i = 1,2,3 ... n ներկայացնում է հաջորդականություն կոորդինատների բոլոր հարեւան vertices է Պոլիգոն, չունենալով ինքնակառավարման խաչմերուկներում: Այս դեպքում, նրա մակերեսը հաշվարկվում է հետեւյալ բանաձեւով `

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

որուն մէջ (X _1, Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1):