Պարզ բազմակրկնություն մեթոդ համակարգերի գծային հավասարումների (Ճահճուտ)

Պարզ բազմակրկնություն մեթոդը, ինչպես նաեւ կոչ է արել եղանակը հերթական մոտարկման, մի մաթեմատիկական ալգորիթմ գտնելու արժեքները անհայտ արժեքի միջոցով աստիճանական հստակեցնել այն. Էությունը Այս մեթոդի այն է, որ, քանի որ ենթադրում է անվանումը, որոնք աստիճանաբար հայտնելով նախնական մոտարկում հետագա նորերը, դառնում են ավելի նուրբ արդյունքներ: Այս մեթոդը կիրառվում է գտնել արժեքը փոփոխականի տվյալ գործառույթը, եւ համակարգերը լուծելու հավասարումների, այնպես էլ գծային եւ ոչ գծային.

Եկեք տեսնենք, թե ինչպես է այս մեթոդը իրականացվում է լուծման գծային համակարգերի. ֆիքսված կետ բազմակրկնություն ալգորիթմ է, հետեւյալն է.

1. ստուգման կոնվերգենցիայի պայմանների նախնական մատրիցով. A կոնվերգենցիան թեորեմ: եթե բնօրինակը համակարգը մատրիցի diagonally գերիշխող (այսինքն, յուրաքանչյուր տող տարրերի հիմնական լողափում պետք է լինի ավելի մեծ, բալ, քան գումարի տարրերի կողմնակի diagonals բացարձակ արժեքով), եղանակը պարզ կրկնությունները համամետ.

2. մատրիցան է բուն համակարգի միշտ չէ, որ անկյունագիծ գերակշռություն: Նման դեպքերում, համակարգը կարող է վերափոխվել: Հետեւյալ հավասարումներով, որոնք բավարարում են կոնվերգենցիայի վիճակը մնացել է անփոփոխ, ինչպես անբավարար եւ կատարել գծային զուգորդումները, այսինքն բազմապատկել, պակասեցնել, հավասարումը folded միասին արտադրել ցանկալի արդյունքի:

Եթե ստացված համակարգը հիմնական անկյունագծային են անհարմար գործոններ, ապա պետք է երկու կողմերի `սույն հավասարման են ավելացվել առումով ձեւով _i * x _i, որը պետք է համընկնի Այդ նշանները նշաններից շեղակի տարրերի.

3. Վերծանել առաջացող համակարգը նորմալ դիտել:

^{x - = β - + α *} x -

Դա կարելի է անել բազմաթիվ եղանակներով, օրինակ, այն, որ առաջին հավասարումը է Express x ₁ միջոցով այլ անհայտ ից vtorogo- x _2, x _3-tretego- այլն Այսպիսով, մենք օգտագործում են հետեւյալ բանաձեւով `

_{α ij = - (ա ij /} ա ii)

_i = բ _I / ա _ii
Համոզվեք, կրկին, որ արդյունքում համակարգը նորմալ տիպի համապատասխանում է կոնվերգենցիայի վիճակում:

Σ (ժ = 1) | α _ij | ≤ 1, եւ ես = 1,2, ... n

4. Սկիզբ օգտագործվում, ըստ էության, մեթոդը հաջորդական մոտարկումների:

x ⁽⁰⁾ - նախնական մերձեցումը, մենք արտահայտում therethrough x ^(1), որին հաջորդում է x ⁽¹⁾ x էքսպրես ^(2): Ընդհանուր առմամբ Բանաձեւից տեսքով հետեւյալն է.

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Մենք հաշվարկել, մինչեւ որ հասնենք ցանկալի ճշտությունը:

_{առավելագույնը | x i (ժա) -x} i (K + 1) ≤ ε

Այնպես որ, եկեք նայենք գործնականում, մեթոդը պարզ բազմակրկնություն. օրինակ.
Լուծել գծային համակարգերի

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 ճշտությամբ ε = 10 ^-3

Տես, գերակշռել եթե շեղակի տարրերի մոդուլի.

Մենք տեսնում ենք, որ կոնվերգենցիան պայմանը բավարարվել է երրորդ հավասարման. Առաջին եւ երկրորդ փոխակերպում, առաջին հավասարման մենք ավելացնել երկու:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Պակասեցնել երրորդ մեկը:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Մենք փոխակերպվում բնօրինակ համակարգի համարժեքը:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Այժմ մենք նվազեցնել համակարգը նորմալ Դիտել:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Մենք ստուգել կոնվերգենցիայի է iterative գործընթացի

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, այսինքն վիճակը հանդիպել.

.3947
Նախնական մերձեցումը x ⁽⁰⁾ = 0.4762
.8511

Փոխարինել այդ արժեքները մեջ հավասարման նորմալ տիպի, մենք ձեռք հետեւյալ արժեքները `

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

Փոխարինել նոր արժեքներ, մենք ստանում ենք:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Մենք շարունակում ենք հաշվարկել, քանի դեռ մինչեւ դուք ստանում ավելի մոտ է այն արժեքները, որոնք համապատասխանում են սահմանված պայմանների:

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Ստուգել արդյունքների:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Կողմից ստացված արդյունքները փոխարինման ստացված արժեքները մեջ բուն հավասարման, լիովին բավարարել հավասարումը:

Քանի որ մենք կարող ենք տեսնել, որ պարզ բազմակրկնություն մեթոդը հնարավորություն է տալիս բավականին ճշգրիտ արդյունքներ, սակայն պետք է լուծել այս հավասարումը, մենք ստիպված էինք ծախսել շատ ժամանակ եւ անել դժվարաշարժ հաշվարկներ: