Կանոնավոր բազմանիստեր: տարրեր սիմետրիա եւ տարածքը

Երկրաչափություն գեղեցիկ է, քանի որ, ի տարբերություն հանրահաշիվ, որը միշտ չէ, պարզ է, թե ինչու եւ ինչ եք կարծում, տալիս է տեսողական օբյեկտ: Այս հրաշալի աշխարհը տարբեր մարմինների զարդարել հերթական polyhedra.

Ընդհանուր տեղեկություններ կանոնավոր polyhedra

Ըստ բազմաթիվ, կանոնավոր polyhedrons, կամ, ինչպես իրենք են անվանում պլատոնական չոր, տիրապետում յուրահատուկ հատկությունները: Հետ, այդ օբյեկտների հետ կապված մի քանի գիտական ենթադրություններ: Երբ դուք սկսում են ուսումնասիրել երկրաչափական տվյալները մարմնի, դուք հասկանում, որ գրեթե ոչինչ չգիտեն մասին, այնպիսի հայեցակարգի, ինչպես նաեւ հերթական polyhedra. Շնորհանդեսը այդ օբյեկտների դպրոց չէ, միշտ էլ հետաքրքիր է, այնպես որ, շատերը չեն էլ հիշում, թե ինչ են նրանք կոչվում էին. Ի հիշատակ մարդկանց մեծամասնության, դա պարզապես մի Cube. Ոչ մեկը Մարմնի երկրաչափություն չունի նման կատարելության որպես կանոնավոր polyhedrons: Բոլոր անունները այդ երկրաչափական մարմինների ծագել է Հին Հունաստանում. Նրանք ներկայացնում թիվը դեմքերի: քառանիստ - քառակողմ, Hexahedron - Allen, octahedron - ութանկյուն, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Բոլոր այս երկրաչափական մարմնի զբաղեցնում է կարեւոր տեղ է Պլատոնի հայեցակարգի տիեզերքի. Չորսն են մարմնավորված տարրեր կամ անձանց: քառանիստ - կրակի, icosahedron - ջրի Cube - Երկրի, octahedron - Օդային. Dodecahedron մարմնավորած բոլոր բաները: Նա համարվում էր հիմնական, որպես խորհրդանիշ տիեզերքի.

Ընդհանրացումը հասկացության մի բազմանկյան

Բազմանկյան է վերջավոր հավաքածու բազմանկյունների այնպիսին է, որ:

• յուրաքանչյուրը կողմերի որեւէ polygons, միեւնույն ժամանակ, միայն մեկ կողմը այլ Պոլիգոն վրա նույն կողմում.
• յուրաքանչյուր բազմանկյունների դուք կարող եք քայլել դեպի մյուսը անցնելով հարեւանությամբ դրան polygons.

Polygons կազմող polyhedron ներկայացնում է իր դեմքերը եւ նրանց կողմը - կողիկներ. բազմանիստեր vertices են vertices են polygons. Եթե տերմինը Պոլիգոն հասկանալ, հարթ փակ polylines, ապա գալիս է մի սահմանման բազմանկյան. Այն դեպքում, երբ այդ եզրի նախատեսված մի մասը, որ ինքնաթիռը, որը bounded կողմից կոտրված գծերի, այն պետք է հասկանալ մակերեւույթը, որը բաղկացած է բազմանկյուն կտորների. Ուռուցիկ բազմանիստը Բելառուսի կոչվում է մարմինը պառկած մի կողմում հարթության հարող իր դեմքերին:

Մեկ այլ սահմանումը մի բազմանկյան եւ նրա տարրերի

Բազմանկյան կոչվում մակերեսի, որը բաղկացած է polygons, որը սահմանափակում է երկրաչափական մարմինը: Նրանք են `

• ոչ ուռուցիկ.
• ուռուցիկ (ճիշտ է, եւ սխալ):

Կանոնավոր բազմանիստը Բելառուսի - ը ուռուցիկ բազմանիստը Բելառուսի հետ առավելագույն սիմետրիա: Տարրեր կանոնավոր polyhedra:

• Քառանիստ: 6 կողիկներ 4 դեմքերը 5 vertices.
• Hexahedron (Cube) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12:

Էյլերի թեորեմ

Այն սահմանում է հարաբերությունները միջեւ թվի եզրեր, բարձրությունների եւ դեմքերի են topologically համարժեք է մի ոլորտում: Ավելացնելով շարք vertices եւ դեմքերի (B + D) ունեն տարբեր կանոնավոր polyhedra եւ համեմատելով դրանք թվի կողոսկրներիդ, դա հնարավոր է սահմանել մեկ կանոն գումարը թվի դեմքերի հավասար է շարք vertices եւ եզրեր (P) գներն աճել են 2. Հնարավոր է բխում մի պարզ բանաձեւ:

• B + D = P + 2:

Այս բանաձեւը ուժի մեջ է ամբողջ հավաքածու բազմանիստ.

հիմնական հասկացությունները

Հասկացությունը, կանոնավոր բազմանկյան անհնար է նկարագրել մեկ նախադասությամբ. Դա ավելի շատ է գնահատվում եւ ծավալը: Մարմինը պետք է ճանաչվի որպես այդպիսին, դա անհրաժեշտ է, որ այն համապատասխանում է մի շարք սահմանումներ: Այսպիսով, երկրաչափական մարմինը կլինի հերթական բազմանիստը Բելառուսի, երբ այդ պայմանները չապահովվեն:

• դա ուռուցիկ.
• նույն թվով կողոսկրներիդ զուգամետ է իր յուրաքանչյուր vertices.
• բոլոր արտահայտություններով իր հերթական բազմանկյունների, հավասար են իրար.
• Բոլոր dihedral անկյունները հավասար են:

Հատկությունների կանոնավոր polyhedra

Կան 5 տարբեր տեսակի կանոնավոր polyhedra:

1. Cube (Hexahedron) - այն ունի մի հարթ ծայր անկյունը 90 °: Այն ունի 3 միակողմանի տեսանկյունից. Գումարը դեմքը անկյունները գագաթում 270 °:
2. Քառանիստ - հարթ ծայր անկյունը - 60 °. Այն ունի 3 միակողմանի տեսանկյունից. Գումարը դեմքը անկյունները գագաթում - 180 °:
3. Octahedron - հարթ ծայր անկյունը - 60 °. Այն ունի չորս միակողմանի տեսանկյունից. Գումարը դեմքը անկյունները գագաթում - 240 °:
4. Dodecahedron մի հարթ ծայր անկյունը 108 °: Այն ունի 3 միակողմանի տեսանկյունից. Գումարը դեմքը անկյունները գագաթում - 324 °:
5. Icosahedron - այն ունի հարթ APEX տեսանկյունից - 60 °. Այն ունի հնգակողմ տեսանկյունից. Գումարը դեմքը անկյունները գագաթում `300 °:

Որ տարածքը հերթական polyhedra

Մակերեսը երկրաչափական մարմինների (S), որը հաշվարկվում է որպես հերթական Պոլիգոն տարածքում բազմապատկած թվով արտահայտություններով (G):

• S = (ա: 2) x 2G CTG π / p.

Ծավալը կանոնավոր բազմանկյան

Այս արժեքը հաշվարկվում է, բազմապատկելով ծավալը հերթական բուրգի, որի բազան հանդիսանում է հերթական Պոլիգոն, մի շարք դեմքերին, եւ դրա բարձրությունը մակագրված շառավղով ոլորտի (r):

• V = 1: 3rS.

Ծավալները կանոնավոր polyhedra

Ինչպես ցանկացած այլ երկրաչափական պինդ, կանոնավոր polyhedra ունեն տարբեր ծավալներ: Ստորեւ բերված են բանաձեւեր, որոնց միջոցով նրանք կարող են հաշվարկել:

• Քառանիստ: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• Hexahedron (Cube): ալֆա x 5 x 3 x (3 + √5): 12.
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Տարրեր կանոնավոր polyhedra

Hexahedron եւ octahedron են երկակի երկրաչափական մարմինները: Այլ կերպ ասած, նրանք կարող են դուրս գալ միմյանց այն դեպքում, որ centroid մեկի ընկալվում է որպես վերեւում այլ, եւ հակառակը: Են նաեւ երկակի icosahedron եւ dodecahedron: Ինքն է միակ քառանիստ է երկակի: Ըստ մեթոդի Էվկլիդեսի կարելի է ձեռք բերել մի dodecahedron Hexahedron կառուցելով «տանիքներ» դեմքերի վրա խորանարդի. Գագաթները է քառանիստ են որեւէ 4 vertices են խորանարդի, ոչ հարակից զույգ երկայնքով եզրին: From Hexahedron (խորանարդի) կարող է ձեռք բերել, եւ այլ կանոնավոր polyhedra. Չնայած այն հանգամանքին, որ կանոնավոր պոլիգոնները կան անհամար, կանոնավոր բազմանիստեր, կան միայն 5:

Որ շառավիղը կանոնավոր polygons

Յուրաքանչյուր այդ երկրաչափական մարմինների կապված են համակենտրոն ոլորտներ 3:

• նկարագրվում անցնող vertices.
• inscribed վերաբերյալ յուրաքանչյուր իր դեմքերից կեսին այն.
• միջնագիծ վերաբերող բոլոր եզրեր մեջտեղում:

Շառավղով ոլորտի նկարագրված է հետեւյալ բանաձեւով, որը հաշվարկվում է:

• R = a: 2 x TG π / գ x TG θ: 2.

Շառավղով inscribed ոլորտի հաշվարկվում է հետեւյալ կերպ.

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

որտեղ θ - dihedral անկյունը, ինչը միջեւ հարակից արտահայտություններով:

The միջին շառավղով ոլորտի կարող է հաշվարկվել է հետեւյալ բանաձեւով.

• ρ = a COS π / p: 2 մեղք π / ժ,

որտեղ h = չափը 4.6, 6.10, կամ 10-հարաբերությունը շառավղի է մակագրված նկարագրված եւ համաչափորեն նկատմամբ p եւ q. Այն հաշվարկվում է հետեւյալ կերպ.

• R / r = tg π / p x TG π / q.

Որ սիմետրիա polyhedra

Սիմետրիան կանոնավոր polyhedra է առաջնային հետաքրքրություն այդ երկրաչափական մարմինների. Այն ընկալվում է որպես շարժման մարմնի տարածության մեջ, որը թողնում է նույն շարք vertices, դեմքերին եւ եզրեր. Այլ կերպ ասած, ազդեցության տակ սիմետրիա փոխակերպումների եզրին, vertex, կամ դեմքի պահպանում է իր նախնական դիրքորոշումը, կամ տեղափոխվում է տուն պաշտոնում մեկ այլ կող, մյուս vertices կամ դեմքերին:

Տարրերը սիմետրիա հերթական polyhedra են ընդհանուր է բոլոր տեսակի երկրաչափական չոր. Այստեղ այն իրականացվում է ինքնության փոխակերպման, որը թողնում որեւէ միավոր է բուն պաշտոնում: Այսպիսով, երբ դուք դիմել է բազմանկյուն պրիզմա կարող եք ստանալ որոշ symmetries: Որեւէ մեկը կարող է ներկայացվել որպես ապրանքի արտացոլման. Սիմետրիա, որը արդյունք է նույնիսկ թվով Ժողժուռ, որը կոչվում անմիջական: Եթե դա արդյունք է կենտ թվով Ժողժուռ, ապա այն կոչվում է հետադարձ կապ. Այսպիսով, բոլոր ոլորանները շուրջ գծի ներկայացնում ուղիղ սիմետրիա: Ցանկացած արտացոլումն բազմանիստը Բելառուսի, այն է, հակառակ համաչափություն:

Որպեսզի ավելի լավ հասկանալ, թե սիմետրիա տարրեր հերթական polyhedra, դուք կարող եք վերցնել օրինակը քառանիստ. Ցանկացած գիծը, որն անցնում է մեկի vertices եւ կենտրոնում երկրաչափական վիճակում, տեղի կունենա, եւ միջոցով կենտրոնում եզրին հակառակ դրան: Յուրաքանչյուր հերթով 120 եւ 240 ° շուրջ գծի պատկանում է հոգնակի tetrahedral սիմետրիա: Քանի որ դրա 4 բարձրությունների դեմքեր, մենք ստանում ենք ընդամենը ութ ուղղակի symmetries: Ցանկացած գծերի անցնող կեսին եզրեր եւ կենտրոնում մարմնի, այն անցնում կեսին հակառակ եզրին: Ցանկացած ռոտացիայի 180 °, որը կոչվում է կես շրջադարձ շուրջ ուղիղ սիմետրիա. Քանի որ քառանիստ ունի երեք զույգ կողերի, դուք ստանում է երեք տողերը սիմետրիա: Հիման վրա վերեւում, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ ընդհանուր թվով ուղղակի համաչափություն եւ այդ թվում `ինքնության փոխակերպման, կլինի մինչեւ տասներկու. Այլ ուղղակի սիմետրիա քառանիստ գոյություն չունի, սակայն այն ունի 12 շրջված սիմետրիա: Հետեւաբար, միայն 24 բնութագրվում քառանիստ symmetries: Պարզության համար, մենք կարող ենք կառուցել մի մոդել հերթական քառանիստ պատրաստված ստվարաթուղթ եւ համոզվեք, որ այն, որ երկրաչափական մարմին, իրոք, ունի ընդամենը 24 սիմետրիա:

Dodecahedron եւ icosahedron - ամենամոտն է մարմնի տարածքում. Icosahedron ունի ամենամեծ թվով դեմքերի, dihedral տեսանկյունից եւ ամենից կարող սերտորեն կառչել մակագրված ոլորտին: Dodecahedron ունի ամենացածր անկյունային արատ ամենամեծ մարմնային անկյան է vertex. Այն կարող է առավելագույնի հասցնի է լրացնել արտագծած ոլորտում:

սկան բազմանիստեր

Կանոնավոր բազմանիստեր սկան, որը մենք բոլորս խրված միասին մանկության, պետք է շատ հասկացությունների: Եթե կա մի շարք polygons, յուրաքանչյուր կողմում, որը հայտնաբերվել է միայն մեկ կողմում բազմանկյան, նույնականացում կողմերի պետք է համապատասխանեն երկու պայմաններին:

• յուրաքանչյուր Պոլիգոն, դուք կարող եք գնալ մի Պոլիգոն ունեցող նույնականացումը կողմի.
• ճանաչելի կողմը պետք է ունենա նույն երկարությունը:

Դա մի շարք polygons, որոնք բավարարում են այդ պայմանները, եւ կոչվում է բազմանիստը Բելառուսի սկան. Յուրաքանչյուր այդ մարմինների ունի մի քանի նրանցից. Օրինակ, մի խորանարդի, որոնք կան 11 կտոր.